Teori Fuzzy Logic

Logika Fuzzy adalah peningkatan dari logika Boolean yang berhadapan dengan konsep kebenaran sebagian. Saatlogika klasik menyatakan bahwa segala hal dapat diekspresikan dalam istilah biner (0 atau 1, hitam atau putih, ya atau tidak), logika fuzzy menggantikan kebenaran boolean dengan tingkat kebenaran.

Logika Fuzzy memungkinkan nilai keanggotaan antara 0 dan 1, tingkat keabuan dan juga hitam dan putih, dan dalam bentuk linguistik, konsep tidak pasti seperti "sedikit", "lumayan", dan "sangat". Logika ini berhubungan dengan set fuzzy dan teori kemungkinan. Logika fuzzy diperkenalkan oleh Dr. Lotfi Zadeh dari Universitas California, Berkeley pada 1965.

Logika fuzzy dan logika probabilitas secara matematis sama - keduanya mempunyai nilai kebenaran yang berkisar antara 0 dan 1 - namun secara konsep berbeda. Logika fuzzy berbicara mengenai "derajat kebenaran", sedangkan logika probabilitas mengenai "probabilitas, kecenderungan". Karena kedua hal itu berbeda, logika fuzzy dan logika probabilitas mempunyai contoh penerapan dalam dunia nyata yang berbeda.

(sumber : http://id.wikipedia.org/wiki/Logika_fuzzy)

Secara umum dalam sistem logika fuzzy terdapat empat buah elemen dasar, yaitu:

　

1. Basis kaidah (rule base), yang berisi aturan-aturan secara linguistik yang bersumber dari para pakar;
2. Suatu mekanisme pengambilan keputusan (inference engine), yang memperagakan bagaimana para pakar mengambil suatu keputusan dengan menerapkan pengetahuan (knowledge);
3. Proses fuzzifikasi (fuzzification), yang mengubah besaran tegas (crisp) ke besaran fuzzy;
4. Proses defuzzifikasi (defuzzification), yang mengubah besaran fuzzy hasil dari inference engine, menjadi besaran tegas (crisp).
   
   

Fuzzy Membership

            Jika X adalah suatu kumpulan obyek-obyek  dan x adalah elemen dari X. Maka  himpunan fuzzy A yang memiliki domain Xdidefinisikan sebagai:

                                      (1)

dimana nilai  berada dalam rentang 0 hingga 1.

            Terdapat dua cara yang lazim dalam merepresentasikan himpunan fuzzy, yang dapat dilihat pada Gambar 1, yaitu :

1.       , jika X adalah merupakan koleksi objek diskrit.

2.      , jika X adalah merupakan koleksi objek kontinyu.

Gambar 1. Fungsi keanggotaan dengan semesta pembicaraan, (a).diskrit, (b).kontinyu.

Fuzzy Membership Operation

            Seperti pada himpunan klasik, himpunan fuzzy juga memiliki operasi himpunan yang sama yaitu gabungan (union), irisan (intersection) dan komplemen. Sebelumnya akan didefinisikan dulu mengenai himpunan bagian yang memiliki peranan penting dalam himpunan fuzzy.

  

• Union (Gabungan)

            Gabungan dari dua buah himpunan fuzzy A dan B adalah himpunan fuzzy C ditulis sebagai  atau , memiliki fungsi keanggotaan yang berhubungan dengan A dan B yang didefinisikan sebagai berikut:

;                        (2)

dengan  adalah operator biner untuk fungsi S dan biasa disebut sebagai operator T-conorm atau S-norm, yang memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

                           S(1,1) = 1, S(0,a) = S(a,0) = a         (boundary);

                           S(a,b)S(c,d) jika a c dan b d   (monotonicity);

                           S(a,b) = S(b,a)                               (commutativity);

                           S(a,S(b,c)) = S(S(a,b),c)                 (associativity).

• Intersection (Irisan)

            Irisan dari dua buah himpunan fuzzy A dan B adalah himpunan fuzzy C dituliskan sebagai  atau , memiliki fungsi keanggotaan yang berhubungan dengan A dan B yang didefinisikan sebagai berikut:

;

,                                              (3)

dengan  adalah operator bineri untuk fungsi T, yang biasa disebut  sebagai operator T-norm, yang memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

                           T(0,0) = 0, T(a,1) = T(1,a) = a         (boundary);

                           T(a,b) T(c,d) jika a  c dan b  d   (monotonicity);

                           T(a,b) = T(b,a)                                   (commutativity);

                           T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c)                    (associativity).

Fuzzy Set Membership Function

            Fungsi-fungsi keanggotaan fuzzy terparameterisasi satu dimensi yang umum digunakan diantaranya adalah:

1.      Fungsi keanggotaan segitiga, disifati oleh parameter{a,b,c} yang didefinisikan sebagai berikut:

                                         (4)

bentuk yang lain dari persamaan di atas adalah

                           (5)

parameter {a,b,c} (dengan a<b<c) yang menentukan koordinat x dari ketiga sudut segitiga tersebut, seperti terlihat pada Gambar 2(a).

2.      Fungsi keanggotaan trapesium, disifati oleh parameter{a,b,c,d} yang didefinisikan sebagai berikut:

                          (6)

parameter {a,b,c,d} (dengan a<b<c<d) yang menentukan koordinat x dari keempat sudut trapesium tersebut, seperti terlihat pada Gambar 2(b).

3.      Fungsi keanggotaan Gaussian, disifati oleh parameter {c,s} yang didefinisikan sebagai berikut:

                                       (7)

Fungsi keanggotaan Gauss ditentukan oleh parameter c dan s yang menunjukan titik tengah dan lebar fungsi, seperti terlihat pada Gambar 2(c) .

Gambar 2. Kurva fungsi keanggotaan, (a).segitiga(x;20,50.80), (b).trapesium (x;10,30,70,90), (c).gaussian(x;50,15), (d).bell(x;10,2,50), (e).sigmoid (x;0.2,50) dan (f).sigmoid(x;-0.2,50).

4.      Fungsi keanggotaan generalized bell, disifati oleh parameter {a,b,c} yang didefinisikan sebagai berikut:

                                      (8)

parameter b selalu positif, supaya kurva menghadap kebawah, seperti terlihat pada Gambar 2(d).

5.      Fungsi keanggotaan sigmoid, disifati oleh parameter {a,c} yang didefinisikan sebagai berikut:

                                 (9)

parameter a digunakan untuk menentukan kemiringan kurva pada saat x = c. Polaritas dari a akan menentukan kurva itu kanan atau kiri terbuka, seperti terlihat pada Gambar 2.(d) dan 2.(e).

Fuzzy IF-Then Rule

            Kaidah fuzzy If-Then (dikenal juga sebagai kaidah fuzzy, implikasi fuzzy atau pernyataan kondisi fuzzy) diasumsikan berbentuk:

Jika x adalah A maka y adalah B                                       (10)

Dengan A dan B adalah nilai linguistik yang dinyatakan dengan himpunan fuzzy dalam semesta pembicaraan X dan Y. Sering kali “x adalahA” disebut sebagai antecedent atau premise, sedangkan “y adalah B” disebut consequence atau conclusion.

            Kaidah fuzzy if-then “jika x adalah A maka y adalah B” sering kali disingkat dalam bentuk AB yang merupakan suatu bentuk relasi fuzzy biner R pada produk ruang X ´ Y. Terdapat dua cara untuk menyatakan AB, yaitu sebagai A coupled with B dan A entails B. Jika dinyatakan sebagai A coupled with B maka didefinisikan sebagai berikut:

dengan adalah operator T-norm. Sedangkan jika dinyatakan sebagai A entails B maka didefinisikan sebagai berikut:

-         material implication:

;                                      (11)

-         propositional calculus:

;                                 (12)

-         extended propositional calculus:

;                                (13)

-         generalization of modus ponens:

;                (14)

dengan R=AB dan  adalah operator T-norm.

　

Fuzzy Reasoning

            Kaidah dasar dalam menarik kesimpulan  dari dua nilai logika tradisional adalah modus ponens, yaitu kesimpulan tentang nilai kebenaran pada B diambil berdasarkan kebenaran pada A. Sebagai contoh, jika A diidentifikasi dengan “tomat itu merah” dan B dengan “tomat itu masak”, kemudian jika benar kalau “tomat itu merah” maka “tomat itu masak”, juga benar. Konsep ini digambarkan sebagai berikut:

premise 1 (kenyataan)	:	x adalah A,
premise 2 (kaidah)	:	jika x adalah A maka y adalah B.
Consequence (kesimpulan)	:	y adalah B.

            Secara umum dalam melakukan penalaran, modus ponens digunakan dengan cara pendekatan. Sebagai contoh, jika ditemukan suatu kaidah implikasi yang sama dengan “jika tomat itu merah maka tomat itu masak”, misalnya “tomat itu kurang lebih merah,” maka dapat disimpulkan “tomat itu kurang lebih masak”, hal ini dapat dituliskan seperti berikut:

premise 1 (kenyataan)	:	x adalah A',
premise 2 (kaidah)	:	jika x adalah A maka y adalah B.
Consequence (kesimpulan)	:	y adalah B'.

Dengan A’adalah dekat ke A dan B’adalah dekat ke B. Ketika A, B, A’ dan B’adalah himpunan fuzzy dari semesta yang berhubungan, maka penarikan kesimpulan seperti tersebut dinamakan penalaran dengan pendekatan (approximate reasoning) yang disebut juga dengan generalized modus ponens (GMP).

            Untuk mendefinisikan penalaran fuzzy, dimisalkan A, A’ dan B adalah himpunan fuzzy dari X, X danY, dengan AB adalah suatu relasi R pada XxY. Kemudian himpunan fuzzy B diinduksikan oleh “x adalahA” dan kaidah fuzzy “jika x adalah A maka y adalah B” didefinisikan sebagai berikut:

                                 (15)

atau sama dengan

                                              (16)

• Kaidah Tunggal dengan Antecedent Tunggal

            Kaidah tunggal dengan antecedent tunggal merupakan contoh yang paling sederhana dari formula pada Persamaan (15) dan setelah disederhanakan, Persamaan (15) menghasilkan persamaan berikut:

                                      (17)

dengan persamaan ini, terlebih dahulu dicari nilai maksimum dari  (daerah warna gelap pada bagian antecedent pada Gambar 3), selanjutnya fungsi keanggotaan B' adalah bagian warna gelap pada Gambar 3 yang merupakan fungsi keanggotaan B yang terpotong oleh w.

Gambar 3. Penjelasan secara grafis dari GMP menggunakan implikasi Mamdani dan komposisi max-min.

(Sumber : http://trensains.com/fuzzy.htm)

Referensi : Jang, J.S.R., Sun, C.T., Mizutani,E., (1997), Neuro-Fuzzy and Soft Computing, Prentice-Hall International, New Jersey.